有限群\( (\mathbb{G}, \odot) \)について考えてみましょう．
\( g \in \mathbb{G} \)に対して
\[ \langle g \rangle = \{e, g, g \odot g, g \odot g \odot g, \ldots \} \]
と定義する（演算を何回も適用した数の集合）と，\( (\langle g \rangle, \odot)\)も群になります．
この群を有限巡回群といいます．
\( \underbrace{g \odot \dots \odot g}_r = e \)となるような\( r \)を\( g \)の位数といいます．
演算を繰り返していったときにはじめて単位元になるような演算回数のことです．
有限巡回群\( (\langle g \rangle, \odot) \)の位数は\( g \)の位数と等しいです．
また，位数が\( \mathbb{G} \)の要素数に等しい元\( g \in \mathbb{G} \)が存在するとき，
つまり，\( g \)を\( |\mathbb{G}| \)の回数だけ演算して初めて単位元\( e \in \mathbb{G}\)になるときに，
\( \langle g \rangle = \mathbb{G} \)なので，群同士も等しくなり
\[ (\langle g \rangle, \odot) = (\mathbb{G}, \odot) \]
より，\( (\mathbb{G}, \odot) \)も有限巡回群です．
このような\( g \)を\( \mathbb{G} \)の生成元といいます．
足し算の結果を6で割った余りの世界（つまり，\( (\mathbb{Z}_6, +) \)）で見てみましょう．
単位元は0だということはわかるでしょう．
\[ 1 \not\equiv 0 \pmod{6} \]
\[ 1 + 1 \not\equiv 0 \pmod{6} \]
\[ 1 + 1 + 1 \not\equiv 0 \pmod{6} \]
\[ 1 + 1 + 1 + 1 \not\equiv 0 \pmod{6} \]
\[ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 \not\equiv 0 \pmod{6} \]
\[ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 \equiv 0 \pmod{6} \]
より，6回目で初めて0になる（位数が6である）ので，1は生成元です．
しかし
\[ 2 \not\equiv 0 \pmod{6} \]
\[ 2 + 2 \not\equiv 0 \pmod{6} \]
\[ 2 + 2 + 2 \equiv 0 \pmod{6} \]
より，3回目で初めて0になる（位数が3である）ので，2は生成元にはなりません．